关于 Labouchere 系统中最大下注期望值的探讨

考虑一个由独立回合组成的游戏，其赔付为均注赔率，玩家以固定概率 $p \geq 1/3$ 获胜，以概率 $1 - p$ 失败。Labouchere 系统是一种下注策略，其需要维护一个正实数列表，并在每个回合下注列表中第一个和最后一个数字之和。若获胜，则这两个数字从列表中删除；若失败，则将下注金额追加到列表末尾。当列表变为空时玩家结束游戏。已知在 $p \leq 1/2$ 时使用 Labouchere 系统进行的游戏中，下注总额与最大亏损的期望均为无穷。Grimmett 和 Stirzaker 提出了最大下注是否同样为无穷的问题。在本文中，我们证明最大下注的期望在 $p > c$ 时有限，其中 $c \approx 0.613763$ 满足 $(c-1)^2 c = \frac{8}{27(1+\sqrt{5})}$，从而部分地回答了该问题。