论受热颗粒气体的爱因斯坦关系

近期针对受随机驱动的颗粒混合物的计算机模拟结果 [Barrat 等, Physica A 334 (2004) 513] 表明，当将通常的爱因斯坦关系中的气体温度 $T$ 替换为杂质温度 $T_0$ 时，扩散系数 $D$ 与迁移率系数 $\lambda$ 之间的爱因斯坦关系 $\epsilon\equiv D/(T_0\lambda)=1$ 成立。本文通过使用 Chapman-Enskog 方法解析求解 Boltzmann-Lorentz 方程对该问题进行了分析。气体通过外部驱动力（恒温器）的作用被加热，该力做功以补偿碰撞造成的能量损失。考虑了两种恒温器：(a) 与粒子速度成正比的确定性力（Gaussian 恒温器），以及 (b) 白噪声外力（随机恒温器）。扩散系数和迁移率系数以两个线性积分方程的解给出，并通过 Sonine 多项式展开近似求解至二阶。结果表明，爱因斯坦关系的破坏（$\epsilon\neq 1$）仅归因于杂质速度分布函数的非 Maxwell 行为（不存在 Gibbs 态）。在定量层面上，动力学理论结果还表明，在 Gaussian 恒温器情况下 $\epsilon$ 偏离 1 的程度比在随机恒温器情况下更为显著，后者的爱因斯坦关系偏离通常小于 1%。该结论与计算机模拟中发现的结果非常吻合。