有限精度算术下共轭梯度算法变体的收敛速率
数值分析
2021-07-19 v2
摘要
我们考虑共轭梯度（CG）算法的三种数学等价变体以及它们在有限精度算术中的表现。在[{\em Behavior of slightly perturbed Lanczos and conjugate-gradient recurrences}, Lin.~Alg.~Appl., 113 (1989), pp.~7-63]中已证明，在某些条件下，轻微扰动的CG计算的收敛性类似于精确CG在这样一个矩阵上的表现：该矩阵有许多特征值分布在关于给定矩阵特征值的微小区间中，区间大小由这些条件被满足的接近程度决定。我们利用一组测试问题确定了这些变体在多大程度上满足所需条件，并表明这些条件被满足的好坏与有限精度计算在达到其最终可达精度之前收敛的好坏之间存在显著相关性。我们表明，对于包含相关精确CG矩阵特征值的区间宽度对精确CG行为有显著影响的问题，不同CG变体在有限精度算术中表现不同。对于区间宽度影响很小或精确CG收敛基本由上界（基于矩阵条件数平方根）支配的问题，不同CG变体在有限精度算术中收敛相似，直到达到最终精度水平，尽管该最终精度水平对不同变体可能不同。这指出了需要在对舍入误差特别敏感的问题上测试新CG变体的必要性。
引用
@article{arxiv.1905.05874,
title = {On the Convergence Rate of Variants of the Conjugate Gradient Algorithm in Finite Precision Arithmetic},
author = {Anne Greenbaum and Hexuan Liu and Tyler Chen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1905.05874},
year = {2021}
}