论具有随机波动率的金融过程与非广延统计力学之间的联系

$GARCH$ 算法是 Engle 对 {\it 收益率} 建模的原始提案 $ARCH$ 过程的最著名推广。这两种情况均以呈现时间依赖且相关的方差或 {\it 波动率} 为特征。除了记忆参数 $b$（存在于 $ARCH$ 中）和一个独立同分布噪声 $\omega$ 外，$GARCH$ 还涉及另一个参数 $c$，使得当 $c=0$ 时可重现标准的 $ARCH$ 过程。在本文中，我们使用遵循由指数 $q_{n}$ 表征的分布的广义噪声，其中 $q_{n}=1$ 时恢复高斯分布。通过将收益率 $GARCH$ 分布的低阶统计矩与通过最大化熵 $S_{q}=\frac{1-\sum_{i}p_{i}^{q}}{q-1}$（非广延统计力学之基础）获得的 $q$-高斯分布相匹配，我们得到了 $q$ 与 $(b,c,q_{n})$ 之间唯一的解析联系，该联系与计算模拟相比表现出极好的一致性。利用此结果，我们还推导了（平方）波动率平稳分布的解析近似。基于 $S_{q}$ 的广义 Kullback-Leibler 相对熵形式，我们还分析了 GARCH(1,1) 过程中相继收益率 $z_{t}$ 与 $z_{t+1}$ 之间的依赖程度。该依赖程度由熵指数 $q^{op}$ 量化。我们的分析表明，该问题的三个熵指数 $q^{op}$、$q$ 与 $q_{n}$ 之间存在唯一关系，且与 $(b,c)$ 的取值无关。