有限域上欠定系统有理解的计算

我们设计并分析了一种算法，用于计算定义在有限域 $\mathbb{F}_q$ 上、系数属于 $\mathbb{F}_q$ 的欠定系统的解。该算法基于向零维搜索的归约。搜索在“垂直条带”上执行，即给定方向上合适维度的平行线性空间。我们的结果表明，平均而言，少于三次搜索便足以获得原系统的解，且成功概率随搜索次数呈指数增长。我们算法的分析依赖于关于随机系统（系数在 $\mathbb{F}_q$ 中）的解集合（在 $\mathbb{F}_q$ 的代数闭包上）满足某些几何与代数性质的概率的结果，这本身具有独立意义。