关于恢复损坏着色的复杂性

在\probrFix问题中，给定一个图$G$、一个（非正常的）顶点着色$c : V(G) \to [r]$和一个正整数$k$。目标是判定是否可以通过对$G$的至多$k$个顶点重新着色，从$c$得到一个正常的$r$-着色$c'$。最近，Junosza-Szaniawski、Liedloff和Rz{\k{a}}{\.z}ewski [SOFSEM 2015]询问该问题是否存在以重新着色数$k$为参数的多项式核。在论文的完整版本中，这些作者与Garnero和Montealegre一起给出了否定的答案：对于每个$r \geq 3$，除非$\NP \subseteq \coNP / \poly$，否则问题\probrFix不允许多项式核。独立于他们的工作，我们给出了该定理的另一种证明。此外，我们研究了\probrFixSwap的复杂性，其与\probrFix的唯一区别在于用$k$次颜色交换的预算代替了$k$次重新着色。我们证明对于每个$r \geq 3$，问题\probrFixSwap是$\W[1]$-难的，而\probrFix已知是FPT。而且，当$r$作为输入的组成部分时，我们观察到\probFix和\probFixSwap以树宽为参数都是$\W[1]$-难的。我们还研究了这些问题的承诺变体，其中保证确实存在通过有限次交换可从$c$得到正常的$r$-着色$c'$。例如，我们证明对于$r=3$，问题\probrFixPromise和\probrFixSwapPromise在平面图上是$\NP$-难的。作为我们归约的结果，除非指数时间假设（ETH）不成立，否则这些问题不能在$2^{o(\sqrt{n})}$时间内求解。