公平着色的结构参数化

一个$n$顶点图是公平$k$-可着色的，如果对其顶点存在一种正常着色，使得每种颜色使用$\left\lfloor n/k \right\rfloor$或$\left\lceil n/k \right\rceil$次。虽然经典的顶点着色（Vertex Coloring）在路径宽度和反馈顶点集等公认参数下是固定参数可处理的，但公平着色（Equitable Coloring）是$\mathsf{W}[1]$-$\mathsf{hard}$的。我们对公平着色的结构参数化进行了广泛研究，同时处理可处理性与核化问题。我们首先证明该问题在到团簇距离（distance to cluster）或到反团簇距离（distance to co-cluster）参数化下是固定参数可处理的——改进了Fiala等人[Theoretical Computer Science, 2011]基于顶点覆盖（vertex cover）参数化的$\mathsf{FPT}$算法——并且在到有限长度不相交路径距离（distance to disjoint paths of bounded length）参数化下也是固定参数可处理的。为佐证后一结果，我们改编了Fellows等人[Information and Computation, 2011]的一个证明，表明公平着色在同时由到不相交路径距离和颜色数参数化时是$\mathsf{W}[1]$-$\mathsf{hard}$的。在核化方面，正面地我们给出了到团距离（distance to clique）参数的线性核，以及由最大叶数（maximum leaf number）参数化的三次核；另一方面，我们证明不同于顶点着色，公平着色在由顶点覆盖和颜色数联合参数化时不承认多项式核，除非$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP}/\mathsf{poly}$。我们也重访了相关文献，并通过次要归约或其他观察得出了关于该问题参数复杂度的其他结果。