关于计算正则语言的共词典序宽度的复杂性

共词典偏序最近在(Cotumaccio 等人, SODA 2021 和 JACM 2023)中被引入,作为索引有限状态自动机的强大工具,应用于正则表达式匹配。它们推广了 Wheeler 序(Gagie 等人, Theoretical Computer Science 2017),并自然地反映了标记自动机中源到节点路径的字符串的共词典序。简而言之,有限状态自动机的共词典宽度 $p$ 衡量了其状态相对于它们所接受的字符串之间的共词典序的可排序程度。共词典宽度为 $p$ 的自动机可以压缩到每边 $O(\log p)$ 比特,并允许正则表达式匹配算法以每个匹配字符 $p^2$ 的时间运行。正则语言 $\mathcal L$ 的确定性共词典宽度是所有识别 $\mathcal L$ 的 DFA 中此类共词典序的最小宽度。由于小共词典宽度的语言在自动机压缩和模式匹配中具有高效解决方案,计算语言的共词典宽度在这些应用中具有重要意义。引入共词典序的论文确定,给定识别 $\mathcal L$ 的任意 DFA $\mathcal A$,其大小为(转移数) $m =|\mathcal A|$,语言 $\mathcal L$ 的确定性共词典宽度 $p$ 可以在 $m^{O(p)}$ 时间内计算。在本文中,我们使用新技术表明,可以在 $O(m^p)$ 时间内判定给定最小 DFA 所识别语言的确定性共词典宽度是否严格小于某个整数 $p\ge 2$。我们基于强指数时间假设,为这个上界补充了一个匹配的条件性下界。当输入为 NFA 时,该问题已知是 PSPACE 完全的(D'Agostino 等人, Theoretical Computer Science 2023);因此,结合该结果,我们的论文基本上解决了该问题的复杂性。