关于社区感知网络稀疏化的复杂性

网络稀疏化是指在保留某些关键图属性的同时减少给定图边数的任务。在社区感知网络稀疏化中，所保留的属性涉及由作为顶点子集给出的图社区所诱导的子图。这被形式化为$\Pi$-网络稀疏化问题：给定一个边加权图$G$、$c$个$V(G)$子集的集合$Z$（社区）以及两个数$\ell, b$，问题是是否存在$G$的一个生成子图$G'$，其边数不超过$\ell$且总权重不超过$b$，使得对于每个社区$C$，$G'[C]$满足$\Pi$。在此，我们考虑两种图属性$\Pi$：连通性属性（Connectivity NWS）和拥有生成星的属性（Stars NWS）。由于这两个问题均为 NP-hard，我们研究了它们的参数化复杂性和细粒度复杂性。基于指数时间假设（ETH），我们为这两个问题提供了紧致的$2^{\Omega(n^2+c)} poly(n+|Z|)$时间运行下界，其中$n$是$G$中的顶点数。即使在所有社区大小不超过 4、$G$为团且每条边权重为 1 的受限情况下，该下界依然成立。对于连通性属性，$G$为团且权重为 1 的情况是研究广泛的计算具有最少边数的超图支撑问题。随后，我们研究了以解图$G'$的反馈边数$t$为参数的两个问题的复杂性。对于 Stars NWS，我们提出了一个针对$t$的 XP 算法。这回答了 Korach 和 Stern [Disc. Appl. Math. '08] 提出的关于$t=0$时是否存在多项式时间算法的开放性问题。相比之下，我们通过证明 Connectivity NWS 在$t=1$时为 NP-hard，表明已知针对$t=0$的多项式时间算法 [Korach and Stern, Math. Program. '03; Klemz et al., SWAT '14] 无法扩展。