胖区域屏障鲁棒性的复杂度分析

在屏障鲁棒性（barrier resilience）问题（由 Kumar 等人于 2007 年在《无线网络》期刊提出）中，给定一组作为障碍物的平面区域，目标是移除最少数量的区域，使得两个固定点可以在不穿越任何区域的情况下相连。本文证明，当集合仅包含具有有界重叠度 $\Delta$ 的胖区域时（即使它们是长宽比为 $1 : (1 + \varepsilon)$ 的轴对齐矩形），该问题是 NP 难的。我们还证明，对于单位圆盘以及具有有界重叠度 $\Delta$ 和 $O(1)$ 对边界交点的相似尺寸 $\beta$-胖区域，该问题是固定参数可解（FPT）的。此外，我们可以利用我们的 FPT 算法构建一个运行时间为 $O(2^{f(\Delta, \varepsilon,\beta)}n^5)$ 的 $(1+\varepsilon)$-近似算法，其中 $f\in O(\frac{\Delta^4\beta^8}{\varepsilon^4}\log(\beta\Delta/\varepsilon))$。