关于近似计数的摊还复杂度

朴素地存储一个直到值$n$的计数器将需要$\Omega(\log n)$位内存。Nelson和Yu [NY22]继[Morris78]的工作之后表明，若查询回答只需以至少$1 - \delta$的概率做到$(1+\epsilon)$-近似，则$O(\log\log n + \log\log(1/\delta) + \log(1/\epsilon))$位已足够，且事实上该界是紧的。然而Morris研究此问题的原始动机以及现代应用，不仅需要维护一个计数器，而是需要为很大的$k$维护$k$个计数器。这引出了以下问题：当$k$很大时，能否用渐近少于$k$倍单个计数器开销的内存同时维护$k$个计数器？换言之，该问题是否受益于改进的{\it 摊还}空间复杂度界？我们给出否定回答。具体而言，我们证明了几乎全参数范围的下界，表明就内存使用而言，存储多个计数器时通过摊还不可能获得渐近收益。我们的主要证明利用了Braverman、Garg和Woodruff在FOCS 2020年引入的某种“信息代价”概念来证明流算法的下界。