某些经验均值的加速收敛及其在非参数回归中的应用

设 $(X_1,\ldots ,X_n)$ 为 $\R^d$ ($d\geq 1$) 中一列独立同分布随机变量，对于某函数 $\varphi:\R^d\to \R$，在正则性条件下，我们证明 \begin{align*} n^{1/2} \left(n^{-1} \sum_{i=1}^n \frac{\varphi(X_i)}{\w f^{(i)}(X_i)}-\int_{} \varphi(x)dx \right) \overset{\P}{\lr} 0, \end{align*} 其中 $\w f^{(i)}$ 是 $X_1$ 密度的经典留一核估计量。这一结果引人注目，因为它将基于中心极限定理（当 $\w f^{(i)}=f$ 时）的传统速率加速至根号 $n$ 量级。因此，它改进了用于积分近似的经典蒙特卡罗方法。本文主要讨论与该结果相关的理论问题（收敛速率、带宽选择、$\varphi$ 的正则性），同时也涉及一些处理随机设计回归的统计应用。特别地，我们给出了回归函数线性泛函估计的渐近正态性，对此仅要求回归函数具有 Hölder 正则性。这引导我们得到 H"ardle 和 Stoker 在 \cite{hardle1989} 中引入的 \textit{平均导数估计量} 的一个新版本，该版本通过估计回归的 \textit{指标空间} 来实现 \textit{降维}。