关于预测 Martin-Loef 随机序列的半测度

Solomonoff 关于归纳的核心结果是：若真实序列生成后验 $\mu$ 是可计算的，则通用半测度 $M$ 的后验以概率 1 快速收敛于 $\mu$。因此，在 $\mu$ 未知的情况下，$M$ 有资格作为通用序列预测器。尽管文献中已有一些相近的结果和证明，但关于对所有 (Martin-Loef) 随机序列均收敛的更强结果仍未解决。鉴于随机性本身可用 $M$ 来定义，此类收敛结果将尤为有趣且自然。我们证明了存在某些通用半测度 $M$ 并非对所有随机序列都收敛，即对该开放问题给出了部分否定的回答。我们也为某些非通用半测度提供了肯定的回答。我们将不可计算测度 $D$ 定义为所有可计算测度的混合，将可枚举半测度 $W$ 定义为所有可枚举近似测度的混合。我们证明了 $W$ 在所有随机序列上收敛于 $D$，且 $D$ 收敛于 $\mu$。衡量两个分布接近程度的 Hellinger 距离在其中起着核心作用。