关于凸集上逼近鞍点的随机虚拟博弈

给定两个由成员资格预言机指定的有界凸集 $X\subseteq\RR^m$ 和 $Y\subseteq\RR^n$，以及一个连续凸凹函数 $F:X\times Y\to\RR$，我们考虑计算 $\eps$-近似鞍点的问题，即寻找一对 $(x^*,y^*)\in X\times Y$ 使得 $\sup_{y\in Y} F(x^*,y)\le \inf_{x\in X}F(x,y^*)+\eps$。Grigoriadis 和 Khachiyan (1995) 提出了一种简单的随机虚拟博弈变体，用于计算矩阵博弈的 $\eps$-近似鞍点，即当 $F$ 是双线性函数且集合 $X$ 和 $Y$ 是单纯形时的情况。在本文中，我们将他们的方法推广到一般情形。特别地，我们证明，对于具有常数“宽度”的函数，可以通过对凸集 $X$ 和 $Y$ 上的对数凹分布抽取 $O^*(\frac{(n+m)}{\eps^2}\ln R)$ 个随机样本来计算 $\eps$-近似鞍点。这里假设 $X$ 和 $Y$ 具有半径为 $1/R$ 的内切球和半径为 $R$ 的外接球。作为推论，我们得到了一种简单的随机多项式时间算法，对于宽度有界且 $\eps \in (0,1)$ 为固定但任意小的常数的问题，该算法计算此类近似的速度快于已知方法。我们实现这一结果的主要工具是将随机虚拟博弈与近期发展起来的从凸集中采样的结果相结合。