一维非马尔可夫随机游走的若干性质

我们研究了一种强非马尔可夫随机游走的变体，其中访问给定格点 $i$ 的概率是该格点先前访问次数 $v(i)$ 的函数 $f$。若概率正比于该格点被访问的次数，即 $f(i)=(v(i)+1)^{\alpha}$，则与简单随机游走相比，被访问格点的概率分布在 ${\alpha}>0$ 时趋于平坦。对于 $f(i)=e^{-v(i)}$，我们观察到具有双峰的分布。原点不再是概率最大的格点。概率在格点 k(t) 处取最大值，且 k(t) 随时间增大。对于 $f(i)=e^{-v(i)}$ 以及 ${\alpha}>0$，性质不随游走老化而改变。然而，对于 ${\alpha}<0$，其渐近性质与简单随机游走相似。我们研究了这些函数下的晶格覆盖时间。晶格覆盖时间按 $N^{z}$ 标度，其中对于 ${\alpha} \le 0$ 有 $z=2$，对于 ${\alpha} >0$ 有 $z>2$，对于 $f(i)=e^{-v(i)}$ 有 $z<2$。