论幂稳定理想

我们在整环 $R$ 上的多项式环 $R[X]$ 中定义了幂稳定理想的概念。证明了 $R[X]$ 中的极大理想 $M$ 是幂稳定的，当且仅当对于素理想 $P = M \cap R$，所有 $t\geq 1$ 均有 $P^t$ 是 $P$-准素理想。利用这一结论，我们证明了对于希尔伯特域 (Hilbert domain) $R$，任何作为有限个 G-理想交集的 $R[X]$ 中的根理想都是幂稳定的。此外，我们证明了如果 $R$ 是维数为 1 的诺特整环，则 $R[X]$ 中的任何根理想都是幂稳定的。最后，证明了如果 $R[X]$ 中的每个理想都是幂稳定的，则 $R$ 是一个域。