关于二面体的平面截面

在分析三维生物微观结构（如器官丘）时，显微镜常常产生二维光学截面，却无法获取其方向信息。为了回答此类随机平面截面是否决定底层三维结构的问题，我们在此离散化模型中进行调查，其中基准结构为正八面体顶点集合，观测数据为平面交叉的同构类别。对于正八面体的顶点集合 $V$，我们定义子集 $X\subseteq V$ 的顶点平面统计量为仪器类型包含 $\Pi\cap X \subseteq \Pi \cap V \subseteq V$ 分布的分布，并询问该统计量是否在仪射变换下唯一决定 $X$。我们证明这并非如此：存在两个非同构的 7 元素子集，其平面统计量相同。作为 consequences，存在两个在 $\mathbb R^3$ 中的多面体，其二维截面的仪射类别分布相同，但这些多面体本身并非同构。这一结果是几何断层学中经典非唯一性现象的类比。