关于$\gamma$-收缩和$\beta$-收缩：颜色保持图归约的统一框架
数据结构与算法
2026-03-04 v2 组合数学
摘要
图是计算机科学和离散数学中的基本抽象，信息编码在其组合结构中。图归约技术旨在简化图同时保留选定的结构性质，通常通过将顶点分组并用代表替换每组，得到收缩图。该范式的一个常见实例出现在顶点携带分类信息时，形式化为顶点集的着色。在此设置中，自然的收缩单元对应于共享相同颜色的顶点的连通分量。本文提供了-收缩的严格数学形式化，这是一种基于颜色的图收缩操作。我们将-收缩解释为一种保持分类连通性的商式构造，并阐明其与经典图收缩和商图概念的关系。为了支持构造性和算法处理，我们引入了一种局部定义的迭代变体，称为-收缩，它捕获了-收缩的核心机制。基于此框架，我们从理论角度分析了收缩过程，并建立了正确性和收敛性的形式保证。特别地，我们证明了-收缩在对数次迭代内收敛到-收缩，且该界是渐近紧的，底数为黄金比例。
引用
@article{arxiv.2404.12080,
title = {On $\gamma$-Contraction and $\beta$-Contraction: A Unified Framework for Colour-Preserving Graph Reduction},
author = {Elia Onofri},
journal= {arXiv preprint arXiv:2404.12080},
year = {2026}
}