图粗化的约化矩阵分类学
机器学习
2026-01-29 v2 机器学习
摘要
图粗化旨在减小图的规模以降低内存占用，并在图信号处理和机器学习中具有广泛应用。它通常通过约化矩阵和提升矩阵来定义，分别用于将图信号从原图投影到粗化图上并返回。这导致了由所谓受限谱逼近（RSA）衡量的信息损失。大多数粗化框架对约化矩阵和提升矩阵施加固定关系，通常互为伪逆，并寻求最小化RSA的粗化方案。本文指出，这两种矩阵的角色并不完全对称：事实上，仅对提升矩阵施加约束即可确保粗化图的邻接矩阵或拉普拉斯矩阵等重要对象的存在。基于此，本文引入了一种更一般的约化矩阵概念，它不一定是提升矩阵的伪逆。我们建立了"可容许"约化矩阵族的分类学，讨论了它们必须满足的不同性质，以及它们是否 admits 闭式描述。我们证明，对于由固定提升矩阵表示的固定粗化方案，仅通过修改约化矩阵即可进一步降低RSA。我们探讨了不同的例子，包括一些基于RSA约束优化过程的例子。由于该准则也与图神经网络的性能相关，我们还展示了这些选择对粗化图上不同节点分类任务的影响。
引用
@article{arxiv.2506.11743,
title = {Taxonomy of reduction matrices for Graph Coarsening},
author = {Antonin Joly and Nicolas Keriven and Aline Roumy},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.11743},
year = {2026}
}