关于三维调和四元数场的代数与唯一性性质

设 $\Omega$ 为带边界的光滑紧致定向三维黎曼流形。四元数场是 $\Omega$ 上函数 $\alpha$ 与向量场 $u$ 的对 $q=\{\alpha,u\}$。若 $\alpha, u$ 在 $\Omega$ 中连续且 $\nabla\alpha={\rm rot\,}u,\,{\rm div\,}u=0$ 在 $\Omega$ 内成立，则称场 $q$ 为{\it 调和的}。调和场空间 ${\mathscr Q}(\Omega)$ 是连续四元数场巴拿赫代数 $\mathscr C\left(\Omega\right)$ 的子空间，其点乘定义为 $qq'=\{\alpha\alpha'-u\cdot u',\,\alpha u'+\alpha'u+u\wedge u'\}$。我们证明了一个 Stone-Weierstrass 型定理：由调和场生成的子代数 $\vee{\mathscr Q}(\Omega)$ 在 $\mathscr C\left(\Omega\right)$ 中稠密。文中还给出了关于调和函数 2-射流及调和场唯一性集合的若干结果。