关于 Cartan 定理的一个谱版本

对于复平面中的域 $\Omega$，我们考虑由谱包含于 $\Omega$ 中的 $n\times n$ 复矩阵构成的域 $S_n(\Omega)$。给定 $S_n(\Omega)$ 的全纯自映射 $\Psi$，使得对某个 $A\in S_n(\Omega)$ 有 $\Psi(A)=A$ 且 $\Psi$ 在 $A$ 处的导数为恒等映射，我们研究该映射 $\Psi$ 何时为保谱的。我们证明若矩阵 $A$ 可对角化或非减损，则对大多数域 $\Omega$，$\Psi$ 在 $S_n(\Omega)$ 上是保谱的。进一步，当 $A$ 任意时，我们证明 $\Psi$ 在 $S_n(\Omega)$ 的某个解析子集上是保谱的。