通过哈达巴不等式与投影方法寻找最大行列式主子矩阵

数值线性代数中的一个重要且具挑战性的问题是从给定的对称正半定矩阵中寻找行列式最大的主子矩阵。该问题在实验设计、统计学和机器学习中均有出现。我们研究了若干精确与近似方法。首先，我们基于哈达巴不等式导出上界，并提出一种基于无归一化的 Gram-Schmidt 过程的投影方案。该组合方式产生高度有效的上界，导致针对中等规模实例的精确分支定界算法。对于更大规模的问题，我们提出了连续松弛方案，以便在精确方法仅返回近最优解时实现可靠的性能评估。我们进一步证明，投影方案加强了来自该松弛方案所导出的上界。数值实验表明，所提出的方法在广泛的数据集范围内表现有效。