沿梯度流的下行数值实现：在宇宙线和饱和传导流体建模中的应用

控制量沿其梯度流下的方程表面上看起来类似于简单的恒定速度平流方程。事实上，如果在计算域或边界上没有局部极值，它与平流方程相同。然而，一般情况下，当计算域中存在局部极值时，它是一个非平凡的非线性方程。使用CFL限制时间步长的标准迎风时间演化会导致网格尺度的虚假振荡。这些起源于极值点的振荡会传播到整个计算域，即使在后期也不会衰减。这些振荡的出现是因为使用标准的CFL限制显式方法时，从极大值（极小值）离开（进入）的通量在物理上不合理。对方程的正则化表明它在极值点处是扩散的；因此，对于正则化方程，使用Δt ∝ Δx^2的显式方法表现良好。我们证明隐式方法在Δt ∝ Δx时表现出稳定且收敛的结果；然而，令人惊讶的是，即使隐式方法在时间步长足够大时也不稳定。除了数值实现中的这些微妙之处外，流方程的求解结果也相当新颖：从初始光滑的轮廓中出现了不可微的解；解表现出大尺度上的输运，例如以拖尾的形式。与热等离子体相互作用的宇宙线的流体模型（适用于远大于宇宙线拉莫尔半径的空间尺度）类似于量沿其梯度流下的方程，因此我们的方法将在宇宙线的流体建模中找到应用。