数值微分：局部方法与全局方法

在测量数据分析的背景下，人们经常面临对数据进行数值微分的任务。通常，这发生在处理测量数据或在偏微分方程或常微分方程演化过程中对数据进行数值评估时。通常，人们不会关注所得导数估计的准确性，因为现代计算机被认为可以精确到很多位。但测量会产生固有误差，这些误差通常远不如所用机器的精度限制，并且存在“有效数字丢失”效应，这在数值数学和计算物理学中是众所周知的。问题主要出现在数值减法中，显然，导数的估计涉及差分的近似。在本文中，我们讨论了几种导数估计技术。作为一个新颖的方面，我们将其分为局部方法和全局方法，并解释了各自的缺点。我们为全局方法开发了一个通用方案，并通过样条平滑和频谱平滑来说明我们的想法。这些鲜为人知的技术的结果与局部方法的结果进行了对比。作为后者的典型代表，我们选择了Savitzky-Golay滤波和有限差分。使用两个基本量来表征结果：真实导数与其估计值之差的方差，以及作为重要的新特征，估计值的平滑度。我们将不同的技术应用于数值生成的数据，并演示了在气动声学实验数据上的应用。结果，我们发现如果考虑平滑过程，全局方法通常更可取。对于粗略估计，局部方法可以很好地工作。