非定常 Stokes 流中边界动态控制最优混合的数值算法与模拟

基于 Hu 和 Wu 一系列工作所奠定的理论基础,本工作开发了一种高效精确的优化算法,研究由非定常 Stokes 流的边界控制驱动的最优混合问题。被混合的标量纯由流平流输运,控制是通过 Navier 滑移条件在域边界上切向施加的力。该控制设计在旋转壁驱动混合、声波微混合器和人工纤毛混合等许多工业过程中具有潜在应用。由于混合问题的多尺度特性和优化要求,数值算法具有高复杂性、高精度需求和高计算开销。一个关键问题是代价泛函的 Gâteaux 导数的计算。为此,构建了一种基于变分公式和有限差分的混合方法,具有高精度和效率,可处理各类控制输入函数。我们尝试了多种优化方案,包括最速下降法、共轭梯度法以及两种线搜索选项(回溯和精确线搜索)。我们能够识别并实现最佳组合。数值模拟表明,仅施加单一类型控制时混合效能有限,但利用更多样化的控制类型和更多时间分段可增强混合。最优混合中的混合范数呈指数衰减。本工作的数值研究证明,仅边界控制即可作为不可压缩流中混合的有效策略。