面向 Berge 对偶的非二部图 Dulmage-Mendelsohn 分解

Dulmage-Mendelsohn 分解是匹配理论中适用于二部图的经典典范分解，它不仅因在矩阵计算领域的应用而闻名，也为拟阵优化理论提供了原型结构。Dulmage-Mendelsohn 分解的陈述与证明使用了两个颜色类，因此将该分解推广至非二部图一直是一项困难的任务。本文中，利用匹配理论中最近引入的工具——basilica 分解，我们得到了一种新的典范分解，它是任意图上 Dulmage-Mendelsohn 分解的推广。我们的结果使我们能够以统一的方式理解所有已知的典范分解。此外，我们应用该结果推导出关于障碍的新定理。最大匹配问题的对偶定理是著名的 Berge 公式，其中对偶优化量被称为障碍。已知的典范分解已经推导出了关于极大障碍的若干结果，然而对于一般图尚无已知刻画。本文中，我们给出了一般图中极大障碍族的刻画，发展并统一了已知结果。