利用矩阵分解数学求解植入团与最大团问题

我们考虑在给定图中识别最大团的问题。我们针对该问题提出了一个数学模型。该模型类似于给定图邻接矩阵的矩阵分解。数学模型的objective function包含分解稀疏矩阵的加权$\ell_{1}$-范数，相较于已知的$\ell_{1}-$范数，其在减小误差方面具有优势。我们提出了动态改变$\ell_{1}$-范数权重的动机。我们在ADMM（交替方向乘子法）算法的迭代中使用近端算子来求解该优化问题。给出了所提ADMM算法的收敛性。也利用golfing scheme构造近似对偶证书，建立了以低秩矩阵形式给出的最大团的理论保证。我们构造了保证解的恢复与唯一性的条件，以及对偶矩阵的紧界以验证最优性条件。给出了植入团的数值结果，显示我们的模型相较于两个近期数学模型具有明显优势。还给出了随机生成图的结果且误差极小。这些误差使用我们基于团大小提出的公式求得。此外，我们将算法应用于真实世界图，成功恢复了其中的团。这些团大小的有效性源于输入图分解为秩一矩阵（对应团）与稀疏矩阵。