双层势、配置常数及其在数值范围中的应用

给定一维紧凸平面域 $\Omega$，其内部非空。经典的 Neumann 配置常数 $c_{\mathbb{R}}(\Omega)$ 是 Neumann-Poincaré算子 $K_\Omega$ 在边界 $\partial \Omega$ 上的连续实值函数空间中（模常数）的范数。我们研究了 $K_\Omega$ 在相应复值函数空间中的算子范数 $c_{\mathbb{C}}(\Omega)$，以及分析函数子空间上的范数 $a(\Omega)$。这一变化需要引入与经典情境中使用的技术截然不同的技术。我们证明了等式 $c_{\mathbb{R}}(\Omega) = c_{\mathbb{C}}(\Omega)$，分析 Neumann 型不等式 $a(\Omega) < 1$，并提供了各种几何学相关的这些数量的估计。我们将结果应用于 Hilbert 空间中类型算子的 holomorphically函数计算的估计：$\|p(T)\| \leq K \sup_{z \in \Omega} |p(z)|$，其中 $p$ 为多项式，$\Omega$ 包含算子 $T$ 的数值范围。除了其他结果外，我们表明已知的 Crouzeix-Palencia 界限 $K \leq 1 + \sqrt{2}$ 可以改进为 $K \leq 1 + \sqrt{1 + a(\Omega)}$。当 $\Omega$ 为椭圆时，这导致以椭圆的离心率表示 $K$ 的估计。