在 Polyak-Łojasiewicz 条件下 CV@R 统计学习中随机梯度下降的含噪线性收敛

条件风险价值（Conditional Value-at-Risk, $\mathrm{CV@R}$）是最受欢迎的风险度量之一，近来被用作监督统计学习中的性能准则，因为它与现代应用中的合意运行特征相关，例如安全性、公平性、分布鲁棒性以及预测误差稳定性。然而，由于其变分定义，$\mathrm{CV@R}$ 通常被认为会导致困难的优化问题，即便对于光滑且强凸的损失函数也是如此。我们反驳了这一论断，通过证明在序列 $\mathrm{CV@R}$ 学习中，对于一大类不一定强凸（甚至不一定凸）且满足集合受限 Polyak-Lojasiewicz 不等式的损失函数，随机梯度下降具有含噪（即固定精度）线性收敛性。该类包含全部光滑且强凸损失，证实了如线性最小二乘回归等经典问题在 $\mathrm{CV@R}$ 准则下可如其中性风险版本一样被高效求解。我们的结果在这样一个风险感知岭回归任务上进行了数值说明，也验证了它们在实践中的有效性。