无三同 $\Theta$ 角：无三点共线问题的变体

我们提出一个对已被充分研究且困难的无三点共线问题的自然推广：在 $n \times n$ 网格上最多能选取多少个点，使得其中任意三点不构成角度 $\theta$？本文对哪些角度会产生非平凡问题进行了分类，指出某些角度在网格上以出人意料的构型出现。我们证明了对于满足 $135^\circ \leq \theta < 180^\circ$ 的角度，下界为 $2n$ 个点，并进一步探讨 $\theta = 135^\circ$ 的情形，利用网格的几何性质证明了上界为 $3n - 2$ 个点。最后，我们将用于证明 $\theta = 135^\circ$ 上界的策略推广，给出对所有角度的通用上界。