逆序数自适应与近似计数的新结果

逆序数计数是数据库中一个经典且重要的问题。列表 $L=(L(1),L(2),\ldots,L(n))$ 中的逆序数 $K^*$ 定义为满足 $i < j$ 且 $L(i) > L(j)$ 的数对个数。本文给出了该问题的新结果：(1) 在 I/O 模型中，提出了一种计算 $K^{*}$ 的自适应算法。该算法执行 $O(\frac{N}{B}+ \frac{N}{B}\log_{M/B}(\frac{K^*}{NB}))$ 次 I/O。当 $K^{*}=O(NM)$ 时，该算法仅需 $O(\frac{N}{B})$ 次 I/O。该算法可修改以匹配基于比较模型和 RAM 模型的最新水平。(2) 在 RAM 模型中，提出了一种线性时间算法以获得 $K^*$ 的紧估计；具体而言，得到一个以高概率落在区间 $[(1-\frac{\log N}{N^{1/4}})K^*,(1+\frac{\log N}{N^{1/4}})K^*]$ 内的值。目前最先进的线性时间算法仅适用于 $L$ 为排列的特殊情况，即每个 $L(i)$ 是 $[1,N]$ 范围内的不同整数。本文处理了一般情况，即每个 $L(i)$ 为实数。