基于半定规划得到 $K_{m,n}$ 交叉数的新下界

本文利用半定规划与表示论计算完全二部图 $K_{m,n}$ 交叉数的新下界，推广了 de Klerk 等人 [SIAM J. Discrete Math. 20 (2006), 189--202] 的方法及随后 De Klerk、Pasechnik 和 Schrijver [Math. Prog. Ser. A and B, 109 (2007) 613--624] 的化简。我们采用一种新颖的分解技术充分利用问题的完全对称性。这导致底层矩阵代数的完全块对角化，我们借此改进了若干具体实例的界。我们的结果表明，对所有 $n$ 有 $\text{cr}(K_{10,n}) \geq 4.87057 n^2 - 10n$、$\text{cr}(K_{11,n}) \geq 5.99939 n^2-12.5n$、$\text{cr}(K_{12,n}) \geq 7.25579 n^2 - 15n$、$\text{cr}(K_{13,n}) \geq 8.65675 n^2-18n$。后三个界使用一种对原半定规划界新且表现良好的松弛算得。这一新松弛仅要求一个小矩阵块为半正定而得到。