利用堆积密度界定特征值

我们证明了体积为 $V$ 的有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 的 Dirichlet Laplacian 特征值 $\lambda_k$, $k\in\mathbb{N}$ 的一个下界：$$\lambda_k \geq C_n\bigg( \delta\frac{k}{V}\bigg)^{2/n}$$ 其中 $\delta$ 是衡量 $\Omega$ 能多有效地被堆积入 $\mathbb{R}^n$ 的常数，$C_n$ 是 Weyl 定律中求得的常数。这一结果推广了 Urakawa 在 1984 年的结果。如果 $\delta^{2/n} > n/(n+2)$，此界强于 Li 和 Yau 在 1983 年证明的特征值界。例如，在凸平面区域的情况下，对于所有 $k\in\mathbb{N}$，我们有 $$\lambda_k \geq \frac{2\sqrt{3}\pi k}{V}.$$