神经素数筛：密度驱动泛化与Hardy-Littlewood渐近式的经验证据

特殊素数族（孪生素数、索菲·热尔曼素数、安全素数、表亲素数、性感素数、陈素数和孤立素数）是解析数论的核心对象，但目前尚不存在高效可计算的概率滤波器来在大规模已知素数中识别可能的成员。经典筛法不对存活候选赋予概率权重，而先前的机器学习方法受限于素数指示序列的算法随机性，真阳性率接近零。我们提出了PrimeFamilyNet，一个以已知素数$p$的反向素数间隙和模素数阶乘剩余为条件的多头残差网络，同时学习所有七个族的概率滤波器，并在从训练（$10^7$–$10^9$）到$10^{16}$的九个数量级上泛化。孤立素数召回率从$5\times10^8$处的0.809单调增加到$10^{16}$处的0.984，提升了17.5个百分点，且是七个族中唯一随规模改善的族。因为召回率对类别先验不变，这反映了真正的决策边界锐化，而非极端尺度下孤立素数比例的上升。仅训练到$10^9$的模型在没有密度监督的情况下重现了正确的渐近方向，印证了Hardy–Littlewood $k$-元组预测。因果模型在$10^{10}$附近对五个族保留了超过95%的召回率，同时将搜索空间减少了62–88%。对于陈素数，因果召回率在每个尺度上都超过了非因果召回率（在$10^{16}$处差距+0.245），因为$g^+=2$仅编码了陈条件的素数情形。Focal Loss将稀疏代数族的召回率压缩至0.000。非对称损失在分布内优于加权BCE，但在分布外退化更陡，表明仅用分布内召回率作为尺度泛化任务的评判标准是误导性的。