紧密堆积行星系统存活时间的 Nekhoroshev 估计

对非共振紧密堆积行星系统的 $N$ 体模拟发现，其存活时间（即至首次密近相遇的时间）随行星间距和行星质量呈指数增长。尽管该结果对通过巨碰撞形成行星系统及其长期演化具有重要意义，但从第一性原理上尚不理解这一潜在的指数依赖关系，且以往基于轨道扩散的尝试仅给出幂律标度。我们提出一种不同的图像：系统偏离其初始条件的巨大偏差源于少数缓慢发展的高阶共振。因此，我们证明可利用受 Nekhoroshev 定理启发的启发式方法估计系统存活时间 $T$，并得到远离重叠两体平运动共振的系统的公式：$T/P=c_1 \frac{a}{\Delta a} \exp \left(c_2 \frac{\Delta a}{a} /\mu^{1/4}\right)$，其中 $P$ 为平均开普勒周期，$a$ 为平均半长轴，$\Delta a\ll a$ 为相邻行星半长轴之差，$\mu$ 为行星与恒星质量比，$c_1$ 与 $c_2$ 为无量纲常数。我们表明，对于 $c_1=5 \cdot 10^{-4}$ 与 $c_2=8$，该公式与数值 $N$ 体实验吻合良好。