紧度量空间上随机场渐近最优线性预测的充要条件

若已知随机场 $\{Z(x)\}_{x\in\mathcal{X}}$（由紧度量空间 $(\mathcal{X},d_{\mathcal{X}})$ 索引）的均值函数 $m\colon\mathcal{X}\to\mathbb{R}$ 与协方差函数 $\varrho\colon\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to\mathbb{R}$，则可获得其最优线性预测（亦称克里金）。我们考虑基于位置 $\{x_j\}_{j=1}^n$ 处的观测来预测某位置 $x^*\in\mathcal{X}$ 处 $Z(x^*)$ 值的问题，这些观测位置随 $n\to\infty$ 在 $x^*$ 处聚集（或更一般地，基于线性泛函 $\varphi,\varphi_1,\ldots,\varphi_n$ 由 $\{\varphi_j(Z)\}_{j=1}^n$ 预测 $\varphi(Z)$）。我们的主要结果刻画了基于错误的二阶结构 $(\tilde{m},\tilde{\varrho})$ 的线性预测子随 $n$ 增大的渐近表现，且对 $\varrho,\tilde{\varrho}$ 无任何如平稳性之类的限制性假设。我们首次给出了 $(\tilde{m},\tilde{\varrho})$ 上关于相应线性预测子对 $\varphi$ 一致地达到渐近最优的充要条件。这些一般结果由 $\mathcal{X}\subset\mathbb{R}^d$ 上具有 Matérn 或周期协方差函数的弱平稳随机场，以及球面 $\mathcal{X}=\mathbb{S}^2$ 上两种各向同性协方差函数情形加以说明。