实现无法被任何可计算函数界定的极限可计算函数的 MuPAD 代码

对于正整数 $n$，设 $f(n)$ 表示最小的非负整数 $b$，使得对于每个在非线性整数 $x_1,...,x_n$ 中有解的系统 $S \subseteq \{x_k=1,x_i+x_j=x_k,x_i*x_j=x_k: i,j,k \in \{1,...,n\}\}$，都存在一个在 $\{0,...,b\}^n$ 中的解。我们证明函数 $f$ 严格递增且支配所有可计算函数。我们展示了一个 MuPAD 中的无限循环，它以正整数 $n$ 为输入，并在每次迭代中返回一个非负整数。设 $g(n,m)$ 表示以 $n$ 为输入时第 $m$ 次迭代返回的数。则 $g(n,m) \leq m-1$，$0=g(n,1)<1=g(n,2) \leq g(n,3) \leq g(n,4) \leq ...$ 且 $g(n,f(n))<f(n)=g(n,f(n)+1)=g(n,f(n)+2)=g(n,f(n)+3)=....$。另一个基于不同原理构建的 MuPAD 代码包含一个 repeat-until 循环，并实现了一个极限可计算函数 $\xi: \mathbb{N}\to\mathbb{N}$，该函数无法被任何可计算函数所界定。该代码以非负整数 $n$ 为输入，立即返回 0，并计算一个多项式方程组 $S$。如果该循环针对 $S$ 终止，则执行下一条指令并返回 $\xi(n)$。