多元 Brenier 累积分布函数及其在非参数检验中的应用

本文中,我们引入一种构建多元累积分布函数的新方法,该方法基于将原始测度 $\mu \in \mathcal{P}^{ac}_2(\mathbb{R}^d)$ 循环单调映射到某个支撑于 $\mathbb{R}^d$ 凸紧子集上的目标测度 $\nu \in \mathcal{P}^{ac}_2(\mathbb{R}^d)$。该映射被称为 $\nu$-Brenier 分布函数($\nu$-BDF),其一维情形 $d = 1$ 下的对应物为普通 CDF,其中 $\nu$ 选为 $\mathcal{U}[0, 1]$,即 $[0, 1]$ 上的均匀分布。遵循一维框架,我们给出了 Glivenko-Cantelli 定理的多元类比。随后通过发展一种基于 $2$-Wasserstein 距离的非参数枢轴两样本检验,说明了该理论的实际应用性。