反问题中的多尺度扫描

本文提出一种多尺度扫描方法，用于在反回归模型 $Y=Tf+\xi$ 中，根据观测 $Y$ 确定量 $f$ 相对于字典 $\mathcal{U}$ 的活跃成分，其中 $T$ 为线性算子，$\xi$ 为一般随机误差。为此，我们在假设 $(T^*)^{-1} \left(\mathcal U\right)$ 为小波型的前提下，对系数 $\langle \varphi, f\rangle$（$\varphi \in \mathcal U$）提供一致置信陈述。基于此，我们得到一个多重检验，能够在控制族系误差率的条件下识别 $\mathcal{U}$ 的活跃成分，即 $\left\langle f, \varphi\right\rangle \neq 0$，$\varphi \in \mathcal U$。我们的结果依赖于对底层多尺度统计量的高斯近似，并采用了一种适应问题不适定性的新型尺度惩罚。在合理假设下，该尺度惩罚进一步确保了统计量分布向 Gumbel 极限的弱收敛。文中详细讨论了层析成像和反卷积等重要特例。此外，还包含了 $T = \text{id}$ 且字典由不同大小（尺度）的移动窗口组成的回归情形，推广了该设定下的先前结果。我们证明该方法满足神谕最优性，即在正确尺度上达到与单尺度检验过程相同的渐近功效。模拟结果支持我们的理论，并展示了该方法作为成像推断工具的潜力。作为一个具体应用，我们讨论了超分辨显微镜，并分析实验 STED 数据以定位单个 DNA 折纸结构。