拥塞博弈中常步长乘性权重更新：收敛、极限环与混沌

乘性权重更新 (MWU) 方法是一种无处不在的元算法，其工作原理如下：在某个集合上维持一个分布，并在每一步将分配给元素 $\gamma$ 的概率乘以 $(1 -\epsilon C(\gamma))>0$，其中 $C(\gamma)$ 是元素 $\gamma$ 的“代价”，然后进行重缩放以确保新值构成一个分布。我们分析了拥塞博弈中的 MWU，其中智能体使用任意可容许常数作为学习率 $\epsilon$，并证明了其收敛于精确 Nash 均衡。我们的证明利用了 MWU 与 Baum-Welch 算法（隐马尔可夫模型 (HMM) 的期望最大化 (EM) 算法的标准实例）之间的新颖联系。有趣的是，这一收敛结果并不适用于近乎同源的 MWU 变体——在该变体中，每一步分配给元素 $\gamma$ 的概率被乘以 $(1 -\epsilon)^{C(\gamma)}$——即使对于最简单的双智能体、双策略负载均衡博弈也是如此，在这种博弈中，此类动力学被证明可以导致极限环甚至混沌行为。