高斯随机场的多层逼近：协方差压缩、估计与空间预测

由紧集（如光滑有界欧几里得域或光滑紧致可定向流形）索引的零均值高斯随机场（GRF）由其协方差算子决定。我们考虑由空间白噪声驱动的着色算子方程的变分解给出的零均值GRF，其中着色算子为Hörmander类中的椭圆自伴伪微分算子。这包括作为特例的Matérn类GRF。利用流形上的双正交多分辨率分析，我们证明精度算子和协方差算子可分别识别为双无穷矩阵，且其有限截面可经对角预处理使条件数与该截面的维数$p$无关。我们证明，对双无穷精度和协方差矩阵的有限截面施加基于阈值的锥形截断策略，可得到最优数值稀疏逼近。即，渐近地仅需线性数量的非零矩阵元，即可用此锥形截断策略以任意精度逼近原双无穷协方差或精度矩阵的截面。这些非零矩阵元的位置是预先已知的。锥形截断后的协方差或精度矩阵也可最优对角预处理。对锥形截断协方差矩阵元素相对大小的分析启发了新颖的多层蒙特卡洛（MLMC）协方差估计预言机，其样本复杂度相对于参数个数$p$呈对数线性缩放。此外，我们提出并分析了一种用于GRF模拟与克里金插值的新颖压缩算法。这三种算法的复杂度（工作量与内存相对于精度）在GRF样本级逼近的参数个数$p$意义下近最优缩放（于Sobolev尺度）。