关于无粘性 Boussinesq 方程 Onsager 型猜想

本文我们考察了三维无粘性 Boussinesq 系统的 Cauchy 问题。对于 $1\le p\le \infty$，我们证明了该系统温度 $L^p$ 范数保守的阈值正则性指数为 $1/3$，与 Onsager 指数一致。更精确地说，对于 $1\le p\le\infty$，每一个弱解 $(v,\theta)\in C_tC^{\beta}_x$ 满足该无粘性 Boussinesq 方程组的 $\|\theta(t)\|_{L^p(\mathbb{T}^3)}=\|\theta_0\|_{L^p(\mathbb{T}^3)}$ 如果 $\beta>\frac{1}{3}$，而如果 $\beta<\frac{1}{3}$，则存在无穷多个弱解 $(v,\theta)\in C_tC^{\beta}_x$ 使得温度的 $L^p$ 范数不保守。此外，我们能够构造许多在 $C_tC^{\beta}_x$ 中的弱解，表现出野性行为，如快速动能耗散和速度的高振荡。此外，我们还表明，如果一个弱解 $(v, \theta)$ 至少有一个规律区间，那么当 $\beta<\frac{1}{3}$ 时，这个弱解 $(v,\theta)$ 在 $C_tC^{\beta}_x$ 中不唯一。