关于大类力迫下大基数保持的进一步结果

我们证明了关于可扩张基数与 $C^{(n)}$-可扩张基数在广泛一类力迫迭代下保持的两个一般性结果（定理 5.4 与 7.5）。作为应用，我们给出了在 Jensen 用于力迫 GCH 的迭代下 Vopěnka 原理与 $C^{(n)}$-可扩张基数保持的新证明，此前分别由 Brooke-Taylor 与 Tsaprounis 获得。我们证明 $C^{(n)}$-可扩张基数在带有标准 Easton 支撑迭代的力迫下得以保持，该迭代对应正则基数上幂集函数的任意 $\Delta_2$-可定义行为。我们表明，可以在保持 $C^{(n)}$-可扩张基数的同时，迫使宇宙与 HOD 在正则基数后继的计算上存在真类多的不一致。我们还证明，在假设 GCH 下，Cummings-Foreman-Magidor 用于在每个 $\kappa$ 力迫 $\diamondsuit_{\kappa^+}^+$ 的类力迫迭代保持 $C^{(n)}$-可扩张基数。我们给出了弱平方原理与 $C^{(n)}$-可扩张基数一致性的最优结果。在最后一节，我们证明了在非常一般（未必可定义或弱齐性）的类力迫迭代下 $C^{(n)}$-可扩张基数的另一保持结果。作为应用，我们证明了 $C^{(n)}$-可扩张基数与 $\rm{V}=\rm{HOD}$ 的一致性，以及与 $\mathrm{GA}$（基公理）加 $\mathrm{V}\neq \mathrm{HOD}$ 的一致性，后者强化了 Hamkins、Reitz 与 Woodin 的一项结果。