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蒙特卡洛与多层蒙特卡洛在随机偏微分方程近似弱误差模拟中的比较

概率论 2023-12-06 v2 数值分析

作者: Annika Lang , Andreas Petersson

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摘要

通过蒙特卡洛方法模拟随机量 E[Y] 的期望已知计算代价高昂，尤其是当该随机量或其近似 Y_n 的模拟代价高昂时，例如随机偏微分方程的解。若需模拟 Y_n 到 Y 在误差 |E[Y - Y_n]| 意义上的收敛性，通常将采用蒙特卡洛方法，即计算 |E[Y] - E_N[Y_n]|。本文确定了由此引起的附加误差的上界与下界，并与 |E_N[Y - Y_n]| 的相应界进行比较，后发现后者更小。此外，给出了多层蒙特卡洛估计量的相应结果，其附加采样误差以与 |E[Y - Y_n]| 相同的速率收敛。对由乘性维纳噪声驱动的随机热方程和几何布朗运动进行了模拟，证实了理论结果，并展示了所提理论对弱误差模拟的影响。

关键词

蒙特卡洛方法多层蒙特卡洛弱误差随机偏微分方程随机热方程几何布朗运动附加误差

引用

@article{arxiv.1512.05317,
  title  = {Monte Carlo versus multilevel Monte Carlo in weak error simulations of SPDE approximations},
  author = {Annika Lang and Andreas Petersson},
  journal= {arXiv preprint arXiv:1512.05317},
  year   = {2023}
}

备注

16 pages, 5 figures; formulated Section 2 independently of SPDEs, shortened Section 3, added example of geometric Brownian motion in Section 4