$\mathbb Z_n$ 的 2-着色中的单色 4 项等差数列

本文受 Wolf \cite{wolf} 关于素数 $p$ 的 $\Z_p$ 中单色 4 项等差数列（简称 4-AP）最小数目的近期结果启发。Wolf 证明存在一种 $\Z_p$ 的 2-着色，其单色 4-AP 数目比随机 2-着色少 0.000386%；该证明是概率性的且非构造性的。本文给出一个显式且简单的 2-着色构造，其单色 4-AP 数目比随机 2-着色少 9.3%。该问题引导我们考虑一般 $n$ 下 $\Z_n$ 中单色 4-AP 的最小数目。我们得到了 $\Z_n$ 的所有 2-着色中单色 4-AP 最小数目的下界和上界。Wolf 证明 $\Z_p$ 的任何 2-着色至少包含 $(1/16+o(1))p^2$ 个单色 4-AP。我们将此下界改进为 $(7/96+o(1))p^2$。我们在 $\Z_n$ 上的结果自然适用于 $[n]$（即 $\{1,2,..., n\}$）上的类似问题。2008 年，Parillo、Robertson 和 Saracino \cite{prs} 构造了一种 $[n]$ 的 2-着色，其单色 3-AP 数目比随机 2-着色少 14.6%。2010 年，Butler、Costello 和 Graham \cite{BCG} 扩展了他们的方法，并通过大量计算机搜索构造了一种 $[n]$ 的 2-着色，其单色 4-AP 数目比随机 2-着色少 17.35%（单色 5-AP 少 26.8%）。我们的构造给出一种 $[n]$ 的 2-着色，其单色 4-AP 数目比随机 2-着色少 33.33%（单色 5-AP 少 57.89%）。