带非可分离变系数的空间分数扩散方程的 $\tau$-预条件器

本文研究基于 $\tau$-矩阵近似的预条件器，用于离散化具有非可分离变系数的 Riesz 空间分数扩散方程的线性系统。系数矩阵的结构为单位矩阵加上对角矩阵乘以多层 Toeplitz 矩阵的求和。在我们的预条件技术中，对角矩阵用标量单位矩阵近似，Toeplitz 矩阵用 $\tau$-矩阵（一种通过离散余弦变换可对角化的矩阵）近似。该提出的预条件器通过快速余弦变换（FST）算法实现快速可逆。理论上，我们表明针对预条件化系统的 GMRES 求解器具有最优收敛率（即与离散步长无关的收敛率）。迄今为止，这是处理变系数空间分数扩散方程的首个具有最优收敛率的预条件方法。我们报告了数值结果，以证明所提方法的有效性。