切换受限在线凸优化的极小极大后悔：无相变

我们研究切换受限在线凸优化（OCO）问题，其中玩家改变其行动的机会有限。虽然该在线学习任务的离散类比已被广泛研究，但连续设定下的先前工作既未建立极小极大率，也未在算法上达到它。在本文中，我们证明具有少于$K$次切换的$T$轮切换受限OCO的极小极大后悔为$\Theta(\frac{T}{\sqrt{K}})$。特别地，在一维下它至少为$\frac{T}{\sqrt{2K}}$，在高维下至少为$\frac{T}{\sqrt{K}}$。高维下的下界由正交子空间论证得到。在一维下，一种新颖的对抗策略给出了$O(\frac{T}{\sqrt{K}})$的下界，但包含常数的精确极小极大分析更为复杂。为建立更紧的一维结果，我们引入了\emph{fugal game}松弛，其极小极大后悔下界了切换受限OCO的极小极大后悔。我们证明fugal game的极小极大后悔至少为$\frac{T}{\sqrt{2K}}$，从而建立了一维下的最优极小极大下界。为建立与维度无关的上界，我们接下来证明一种mini-batching算法给出了$O(\frac{T}{\sqrt{K}})$的上界，因此得出对任意$K$切换受限OCO的极小极大后悔为$\Theta(\frac{T}{\sqrt{K}})$。这与其离散对应问题即切换受限专家预测问题形成鲜明对比，后者在低切换与高切换区间的极小极大后悔表现出相变。