各向异性Hölder类上连续随机微分方程不变密度的极小极大估计率

我们研究了 $d$ 维随机微分方程 $(X_t)_{t \in [0, T]}$ 平稳分布密度 $\pi$ 的非参数估计问题。基于 $[0, T]$ 上采样路径的连续观测，我们研究了当 $T$ 趋于无穷时 $\pi(x)$ 的估计。对于 $d\ge2$，我们在正则性为 $\beta = (\beta_1, ... , \beta_d)$ 的各向异性Hölder函数类上，刻画了点态估计 $\mathbf{L}^2$ 风险的极小极大率。对于 $d \ge 3$，我们的发现是：在将光滑性排序为 $\beta_1 \le ... \le \beta_d$ 后，极小极大率取决于 $\beta_2 < \beta_3$ 还是 $\beta_2 = \beta_3$。在第一种情况下，该率为 $(\frac{\log T}{T})^\gamma$；在第二种情况下，该率为 $(\frac{1}{T})^\gamma$，其中 $\gamma$ 是一个显式指数，依赖于维数和 $\bar{\beta}_3$（即排除最小的 $\beta_1$ 和 $\beta_2$ 后，$d$ 个方向上光滑性的调和平均值）。我们还证明了基于核的估计量达到了最优极小极大率。此外，我们针对 $L^2$ 积分风险和点态风险都提出了自适应程序。在二维情形下，我们证明核密度估计量达到了率 $\frac{\log T}{T}$，这在极小极大意义下是最优的。最后，我们通过数值结果验证了理论发现的有效性。