带噪声样本的在线分层抽样的极小化最优层数

我们考虑在线分层抽样用于蒙特卡洛积分的问题，给定有限预算 $n$ 个对函数的带噪声评估。更精确地，我们关注根据预算 $n$ 选择层数 $K$ 的问题。我们提供了渐近和有限时间结果，关于一个能够访问函数的预言机如何最优地选择划分。此外，我们证明了分层蒙特卡洛问题的学习率下界。因此，通过改进其性能界，我们能够说明算法 MC-UCB（定义于 \citep{MC-UCB}）在样本数 $n$ 和层数 $K$ 上都是极小化最优的，直到一个 $\sqrt{\log(nK)}$ 因子。这使得我们能够推导出在 Hölder 连续函数类上，MC-UCB 输出的估计性能与最佳预言机静态策略输出的估计性能之间的差异的极小化最优界，直到一个 $\sqrt{\log(n)}$ 因子。