矩阵集中不等式与随机通用量子门集的效率

对于量子门的随机集合 $\mathcal{S} \subset U(d)$，我们给出了 $\mathcal{S}$ 构成 $\delta$-近似 $t$-设计的概率界限。特别地，我们发现对于从精确 $t$-设计中抽取的 $\mathcal{S}$，其构成 $\delta$-近似 $t$-设计的概率满足不等式 $\mathbb{P}\left(\delta \geq x \right)\leq 2D_t \, \frac{e^{-|\mathcal{S}| x \, \mathrm{arctanh}(x)}}{(1-x^2)^{|\mathcal{S}|/2}} = O\left( 2D_t \left( \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{1-x^2}} \right)^{|\mathcal{S}|} \right)$，其中 $D_t$ 是对出现在 $U \mapsto U^{\otimes t}\otimes \bar{U}^{\otimes t}$ 分解中的唯一不可约表示维数的求和。我们利用这些结果证明，要以概率 $P$ 获得一个 $\delta$-近似 $t$-设计，需要 $O( \delta^{-2}(t\log(d)-\log(1-P)))$ 个随机门。我们还分析了对于随机 $\mathcal{S}$，$\delta$ 如何围绕其期望值 $\mathbb{E}\delta$ 集中。我们的结果对对称和非对称门集均有效。